随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法
技术领域
1.本发明属于计算电磁学技术领域，具体涉及随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法。
背景技术：2.电磁波在随机介质中传播和散射的随机特性多年来一直是人们关注的问题。蒙特卡洛(monte carlo，mc)方法作为一种黄金准则，被广泛应用于多样本模拟随机问题的求解。然而，该方法计算量大，耗时过多，不适用于复杂问题，尤其应用于三维电磁数值模拟，如时域有限差分(fdtd)数值模拟。多项式混沌展开方法是一种很有前途的定量计算随机媒质电磁散射统计特性的有效方法，该方法可以分为侵入式多项式混沌(polynomial chaos expansion，pce) 方法和非侵入式pce方法。侵入式多项式混沌方法将控制方程中的物理量进行正交多项式混沌展开，然后进行galerkin映射，得到相应的控制方程，该方法无法利用现有确定性程序，而非侵入式pce方法将响应函数看作一个黑箱，根据随机变量的分布，在概率空间中通过一定的抽样方法，获得若干样本点，将各样本点输入到程序数值求解，获得输入参数各样本点相应的电磁响应量，它仅关注输入和输出的映射关系，构建输出响应的混沌多项式代理模型，从而对不确定过程进行量化评估。与侵入式多项式混沌方法相比，非侵入式pce方法不需要对控制方程进行修改，无需重新编写程序，大大降低了复杂度。与蒙特卡洛方法相比，非侵入式多项式混沌方法只需要极少量样本点就可以得到响应量的统计特性，效率较高。
3.需要注意的是，本部分旨在为权利要求书中陈述的本发明的实施方式提供背景或上下文。此处的描述不因为包括在本部分中就承认是现有技术。
技术实现要素：4.为克服上述现有技术的不足，本发明目的在于提供了随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，计算速度快且精度高。
5.为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：
6.随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，包括以下步骤：
7.步骤1，通过随机变量表达式确定随机变量及其分布类型，ω
p
为随机等离子体角频率，是均值，是标准偏差，ξ为标准正态分布；
8.步骤2，将随机变量的概率分布类型确定得到的响应量rcs用正交归一化的 hermite多项式展开，展开为p项：其中，y为随机响应量，ψk(ξ) 是由随机变量ξ的分布函数确定的正交多项式基函数的第k阶展开项，ck为待求的混沌多项式系数，p为多项式展开项数，k为多项式展开项中的第k项；
9.步骤3，对ξ进行n次随机抽样，并将其依次带入到步骤1中的随机变量表达式，得到
模型参数{ω
p1
,ω
p2
,
…
ω
pn
}，其中ω
p
为随机等离子体角频率，n为随机抽样个数；
10.步骤4，针对每一次抽样后的参数值{ω
p1
,ω
p2
,
…
ω
pn
}，利用电磁仿真算法计算得到对应的数值解rcs；
11.步骤5，基于点配置法求解由公式得到的线性方程组，获得相对应的多项式系数ck，其中，k为多项式展开项中的第k项；
12.步骤6，根据多项式系数计算rcs统计量：均值和标准偏差。
13.所述的步骤1，具体做法是：
14.将随机变量写为ω
p
为随机等离子体角频率，是均值，是标准偏差，ξ为标准正态分布：pdf(ξ)～n(0,1)。
15.所述的步骤5，具体做法是：
16.根据多项式混沌方法，对随机变量进行多项式混沌展开，在随机空间选取 p+1个向量(ξi＝[ξ1,ξ2,
…
,ξn]i,i＝0,1,2,
…
,p)作为p阶多项式混沌的样本，其中每个样本都对应一个确定性计算，其中：i为随机空间选取的第i个向量，n为随机变量的个数，p为多项式展开项数，进行p+1次确定性求解，可得各响应参数的解，将确定性解带入公式中，可得一组线性方程组：
[0017][0018]
通过求解该线性方程组，可得多项式系数[c0,c1,
…
,c
p
]
t
的值，其中， y＝[g(ξ0)，g(ξ1)，
…
，g(ξ
p
)]
t
为随机响应量。
[0019]
所述的步骤6，具体做法是：
[0020]
依据获得的混沌多项式系数ck，直接计算出输出响应的随机概率特性，基于非侵入式pce展开各项系数，即可计算随机函数rcs的统计特性，可得
[0021]
μy＝c0[0022][0023]
其中，μy为随机响应量的均值，为随机响应量的方差。
[0024]
与现有技术相比，本发明的有益效果：
[0025]
本发明基于点配置非侵入式pce方法，并将其扩展到随机等离子体电磁散射特性问题中。根据随机变量的分布，在概率空间中通过一定的抽样方法，获得若干样本点，将各样本点输入到程序数值求解，获得输入参数各样本点相应的电磁响应量，基于非侵入式pce方法得到响应量的统计特性。该发明与侵入式多项式混沌方法相比，不需要对控制方程进行修改，无需重新编写程序，大大降低了复杂度。与蒙特卡洛方法相比，非侵入式多项式混沌方法只需要极少量样本点就可以得到响应量的统计特性，效率较高。
附图说明
[0026]
图1是本发明的流程图。
[0027]
图2是本发明实施例中的计算模型的结构示意图。
[0028]
图3是本发明的方法与mc方法计算的rcs均值对比图。
[0029]
图4是本发明的方法与mc方法计算的rcs标准偏差对比图。
[0030]
图5是本发明实施例中的计算模型的结构示意图。
[0031]
图6是本发明的方法与mc方法计算的rcs均值对比图。
[0032]
图7是本发明的方法与mc方法计算的rcs标准偏差对比图。
[0033]
图8是本发明实施例中的计算模型的结构示意图。
[0034]
图9是本发明的方法与pce和mc方法计算的rcs均值对比图。
[0035]
图10是本发明的方法与pce和mc方法计算的rcs标准偏差对比图。
具体实施方式
[0036]
下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。然而，示例实施方式能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的范例；相反，提供这些实施方式使得本发明将更加全面和完整，并将示例实施方式的构思全面地传达给本领域的技术人员。所描述的特征或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施方式中。
[0037]
本发明是基于点配置非侵入式pce(多项式混沌展开，polynomial chaos expansion，pce)方法应用于随机等离子体电磁散射特性研究的pce方法，所依据的原理是：首先根据随机变量的分布方式得到电磁散射模型的多项式展开，对随机变量进行随机抽样，得到相应的模型参数，然后将模型参数带入电磁仿真算法中得到对应的响应量，由随机变量得到的多项式和相应的响应量组成线性方程组，通过求解该线性方程组，可得多项式系数ck的值，最后根据多项式系数ck求解响应量的统计特性，包括均值和标准偏差。
[0038]
本发明在多项式混沌方法的基础上叙述的，因此先介绍了多项式混沌方法的原理。多项式混沌方法是以一些确定性解为基础去估算多项式混沌展开式中的系数，继而得到响应量的统计特性。
[0039]
以响应函数y＝g(ξ)(ξ＝[ξ1,ξ2,
…
,ξn])为例，随机响应量y可以表示为p阶截断的多项式基函数展开：
[0040][0041]
式中：ck为待求的混沌多项式系数；ψk(ξ)是由随机变量ξ的分布函数确定的正交多项式基函数的第k阶展开项，正交多项式的选择依赖于随机变量的概率密度函数，根据askey法则，对应不同的概率密度函数，存在不同的最优展开多项式，如表1所示。
[0042]
表1 混沌多项式对应随机变量类型
[0043][0044]
埃尔米特多项式在概率论中常用的形式为：
[0045][0046]
随着随机变量的增加，相同多项式最高阶的展开项的数量将增加，这意味着必须计算更多的系数。正交多项式总项数为：
[0047][0048]
其中，d为多项式展开式中的最高阶数，n为随机变量的个数。由上式可以看出，只有一个随机变量时，展开项数p和多项式最高阶d是相等的，即p＝d。表2给出了只有一个随机变量且多项式最高阶d＝4的pce基函数。而有两个及两个以上数量的随机变量时，展开项数p会成倍增加。表3显示了总阶数为d＝4 和两个随机参数的pce基函数。
[0049]
表2：总阶为d＝4、一个随机变量的埃尔米特多项式基函数
[0050][0051]
非侵入式pce方法可以看作是多项式混沌方法与传统抽样法的结合，其思想是以一些确定性解为基础去估算多项式混沌展开中的系数。非侵入式pce展开流程如图1所示。
[0052]
根据多项式混沌方法，对随机变量进行多项式混沌展开，如式(1)，在随机空间选取p+1个向量(ξi＝[ξ1,ξ2,
…
,ξn]i,i＝0,1,2,
…
,p)作为p阶多项式混沌的样本。其中每个样本都对应一个确定性计算，进行p+1次确定性求解，，可得各响应参数的解，将确定性解带入(1)式可得一组线性方程组
[0053][0054]
通过求解该线性方程组，可得式(1)中多项式系数ck的值。
[0055]
一旦混沌多项式系数ck求出，就可以直接计算出输出响应的随机概率特性。
[0056]
表3：总阶为d＝4、两个随机变量的埃尔米特多项式基函数
[0057][0058][0059]
基于点配置非侵入式pce展开各项系数，即可计算随机函数y的统计特性，可得：
[0060]
随机函数的均值：
[0061]
μy＝c0ꢀꢀ
(5)
[0062]
随机函数的方差：
[0063][0064]
本发明为随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，具体按照以下步骤实施：
[0080][0081]
其中，μy为随机响应量的均值，为随机响应量的方差。
[0082]
计算完成，画图，结束。
[0083]
实施例
[0084]
利用以下三个算例来验证算法的正确性。
[0085]
算例1：本文讨论的模型1如图2所示。金属球的半径为a＝100mm，覆盖随机等离子体的外半径为b＝120mm，覆盖随机等离子体的厚度为 d＝20mm，球心位于直角坐标原点，入射的平面波沿z轴正方向入射，电场极化方向沿正x轴方向。假设等离子体角频率ω
p
为服从正态分布的随机变量，等离子体角频率的均值为μ{ω
p
}＝1.8032
×
10
11
rad/s，标准偏差σ{ω
p
}＝0.1
×
μ{ω
p
}，碰撞频率为v＝20
×
109rad/s。仿真结果分别取d＝{1,2,4}阶埃尔米特多项式的展开项数，同时结果也采用了10000次模拟的蒙特卡洛方法的结果作为对比，其中，蒙特卡洛的每一次仿真都根据正态分布的表达式产生等离子体角频率。
[0086][0087]
采用本发明方法计算的rcs的均值和标准偏差和传统蒙特卡洛方法比较的图分别如图3和图4所示。图3比较了在0-2.5ghz频率下由mc和非侵入式pce 方法计算的单站雷达散射截面的平均值，图4显示了不同方法计算的雷达散射截面的标准偏差比较。可以看到，在整个频率范围内，非侵入式pce方法和mc 方法计算的雷达散射截面的均值差别不大，当展开项数为p＝d＝1时，就可以得到非常一致的结果。而随着阶数的增加，rcs的均值曲线越来越接近mc的值。标准偏差的值相对有较大的偏差，尤其是在p＝d＝1的时候，当展开项数为 p＝d＝4时，可以看到非侵入式pce方法的结果和mc结果可以很好的吻合。
[0088]
算例2：本文讨论的模型2如图5所示。金属球的半径为a＝50mm，覆盖随机等离子体的外半径分别为b＝60mm和c＝70mm，覆盖随机等离子体的厚度分别为d1＝d2＝10mm，球心位于直角坐标原点，入射的平面波沿z轴正方向入射，电场极化方向沿正x轴方向。假设等离子体角频率服从正态分布的随机变量，等离子体角频率均值分别为μ{ω
p1
}＝3.0159
×
10
10
rad/s，μ{ω
p2
}＝3.1416
×
10
10
rad/s，标准偏差分别为σ{ω
p1
}＝0.1
×
μ{ω
p1
}，σ{ω
p2
}＝0.1
×
μ{ω
p2
}，碰撞频率为 v＝1.5708
×
10
10
rad/s。仿真结果分别取d＝{1,2,4}阶埃尔米特多项式的展开项数，同时结果也采用了10000次模拟的蒙特卡洛方法的结果作为对比，其中，蒙特卡洛的每一次仿真都根据正态分布的表达式产生等离子体角频率。
[0089][0090][0091]
采用本发明方法计算的rcs的均值和标准偏差和传统蒙特卡洛方法比较的图分别如图6和图7所示。图6比较了在0-5ghz频率下由mc和非侵入式pce 方法计算的单站雷达散射截面的均值，图7显示了不同方法计算的雷达散射截面的标准偏差比较。可以看到，在整
个频率范围内，非侵入式pce方法和mc方法计算的雷达散射截面的均值差别不大，当展开项数为d＝1时，就可以得到非常一致的结果。而随着阶数的增加，rcs的均值曲线越来越接近mc的值。标准偏差的值也能较好的吻合，尤其当展开项数为d＝4时，可以看到非侵入式pce 的结果和mc很好地吻合。
[0092]
算例3：本文讨论的模型如图8所示。仿真区域为200
×
200个均匀网格，网格大小设置为δx＝δy＝2.5mm，半径为r＝100mm的金属圆柱，金属圆柱体位于 fdtd网格的中心，金属圆柱外面包覆了一层厚度为d＝50mm的等离子体。载波频率为3ghz的调制高斯脉冲源被添加到总场/散射场边界。假设等离子体的电子密度ne是服从正态分布的随机变量，ne的均值和标准偏差为μ{ne}＝1.0
×
10
18
m-3
和σ{ne}＝0.05
×
μ{ne}，同样，等离子体的碰撞频率v为v＝1.0
×
109rad/s。其中，蒙特卡洛的每一次仿真都根据正态分布的表达式产生等离子体媒质的电子密度 n。
[0093]e[0094][0095]
采用本发明方法计算的rcs的均值和标准偏差与侵入式多项式混沌方法和传统蒙特卡洛方法比较的图分别如图9和图10所示。图9比较了3ghz频率下由mc、侵入式pce和非侵入式pce方法计算得到的雷达散射截面的平均值，图 10显示了不同方法计算雷达散射截面的标准偏差比较。可以看到，在整个角度范围内，当展开项数为d＝4时，非侵入式pce方法和侵入式pce方法计算得到的雷达散射截面的均值差别不大，并且能跟mc仿真得到的结果很好的吻合，当展开项数为d＝1时，非侵入式pce方法得到的标准差与mc结果相差较大，而当 d＝4时，基本与mc结果吻合。
[0096]
本领域技术人员在考虑说明书及实践这里公开的发明后，将容易想到本发明的其它实施方案。本技术旨在涵盖本发明的任何变型、用途或者适应性变化，这些用途或者适应性变化遵循本发明的一般性原理并包括本发明未公开的本技术领域中的公知常识或惯用技术手段。说明书和实施例仅被视为示例性的，本发明的真正范围和精神由所附的权利要求指出。
技术特征：1.随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1，通过随机变量表达式确定随机变量及其分布类型，ω
p
为随机等离子体角频率，是均值，是标准偏差，ξ为标准正态分布；步骤2，将随机变量的概率分布类型确定得到的响应量rcs用正交归一化的hermite多项式展开，展开为p项：其中，y为随机响应量，ψ
k
(ξ)是由随机变量ξ的分布函数确定的正交多项式基函数的第k阶展开项，c
k
为待求的混沌多项式系数，p为多项式展开项数，k为多项式展开项中的第k项；步骤3，对ξ进行n次随机抽样，并将其依次带入到步骤1中的随机变量表达式，得到模型参数{ω
p1
,ω
p2
,
…
ω
pn
}，其中，ω
p
为随机等离子体角频率，n为随机抽样个数；步骤4，针对每一次抽样后的参数值{ω
p1
,ω
p2
,
…
ω
pn
}，利用电磁仿真算法计算得到对应的数值解rcs；步骤5，基于点配置法求解由公式得到的线性方程组，获得相对应的多项式系数c
k
，其中，k为多项式展开项中的第k项；步骤6，根据多项式系数计算rcs统计量：均值和标准偏差。2.根据权利要求1所述的随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，其特征在于，所述的步骤1，具体做法是：将随机变量写为ω
p
为随机等离子体角频率，是均值，是标准偏差，ξ为标准正态分布：pdf(ξ)～n(0,1)。3.根据权利要求1所述的随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，其特征在于，所述的步骤5，具体做法是：根据多项式混沌方法，对随机变量进行多项式混沌展开，在随机空间选取p+1个向量(ξ
i
＝[ξ1,ξ2,
…
,ξ
n
]
i
,i＝0,1,2,
…
,p)作为p阶多项式混沌的样本，其中每个样本都对应一个确定性计算，其中：i为随机空间选取的第i个向量，n为随机变量的个数，p为多项式展开项数，进行p+1次确定性求解，可得各响应参数的解，将确定性解带入公式中，可得一组线性方程组：通过求解该线性方程组，可得多项式系数[c0,c1,
…
,c
p
]
t
的值，其中，y＝[g(ξ0)，g(ξ1)，
…
，g(ξ
p
)]
t
为随机响应量。4.根据权利要求1所述的随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式pce方法，其特征在于，所述的步骤6，具体做法是：
依据获得的多项式系数c
k
，直接计算出输出响应的随机概率特性，基于非侵入式pce展开各项系数，即可计算随机函数rcs的统计特性，可得：μ
y
＝c0其中，μ
y
为随机响应量的均值，为随机响应量的方差。
技术总结随机等离子体电磁散射特性的点配置非侵入式PCE方法，包括以下步骤：确定随机变量及其分布类型，随机变量以高斯分布为例：将随机变量写为随机变量的概率分布类型确定得到的响应量RCS用正交归一化的Hermite多项式展开；对ξ进行N次随机抽样，并将其依次带入到随机变量表达式中，得到模型参数{ω
技术研发人员：刘江凡 刘晓妹 李铮 焦子涵 席晓莉
受保护的技术使用者：西安理工大学
技术研发日：2022.07.26
技术公布日：2022/11/1
